Kalkulus diferensial
adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
Kalkulus variasi
!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Kalkulus variasi
Salah satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar dua titik di atas sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus berada di permukaan tersebut. Jika permukaan tersebut adalah bidang rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus. Namun jika permukaannya tidak bidang, maka kita tidak bisa mengetahui secara pasti kurva yang paling pendek. Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah satu masalah paling sederhana di kalkulus variasi adalah mencari geodesik.Contoh lainnya adalah mencari luas permukaan paling kecil yang dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi. Permukaan ini disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan menggunakan kalkulus variasi.
PERMASALAHANadalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
Kalkulus variasi
!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Kalkulus variasi
Salah satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar dua titik di atas sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus berada di permukaan tersebut. Jika permukaan tersebut adalah bidang rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus. Namun jika permukaannya tidak bidang, maka kita tidak bisa mengetahui secara pasti kurva yang paling pendek. Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah satu masalah paling sederhana di kalkulus variasi adalah mencari geodesik.Contoh lainnya adalah mencari luas permukaan paling kecil yang dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi. Permukaan ini disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan menggunakan kalkulus variasi.
Akan dicari penyelesaian umum dari persamaan diferensial linier non homogen berikut d²y/dx²+5dy/dx-2y=x dengan menggunakan metode variasi parameter !
C. PEMBAHASAN
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier non homogen, kita harus mengetahui bentuk umum dari persamaan diferensial tersebut.
Ciri-ciri dari Persamaan Diferensial Linier adalah:
Variabel terikat y dan derivatifnya hanya berderajat satu
Tidak ada perkalian antara y dan derivatifnya
Variable terikat bukan termasuk fungsi transenden, logaritma, trigonometri, exponensial
Berikut adalah contoh – contoh persamaan diferensial linier :
d²y/dx²+5dy/dx+6y=0, berikut adalah persamaan diferensial biasa linier orde 2 pangkat 1 dengan koefisien konstan.
d³y/dx³+x² d²y/dx²+x³ dy/dx=xᵡe^x , berikut adalah persamaan diferensial orde 3 pangkat 1 dengan koefisien variabel, ada unsur exponen di persamaan diferensial tersebut, tetapi unsur exponen tersebut tidak mengandung unsur y atau perkalian terhadap y, jadi persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial linier.
Bentuk Umum Persamaan Diferensial Non Homogen
Jika diketahui ada persamaan diferensial yang F(x) ≠ 0, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial non homogen.
Berikut adalah contoh – contoh persamaan diferensial non homogen :
d²y/dx²+3dy/dx+2y=xe^x, pada persamaan diferensial tersebut F(x) ≠ 0 maka persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial non homogen.
d²y/dx²+ 4y=e^3x, pada persamaan diferensial tersebut F(x) ≠ 0 maka persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial non homogen.
Bentuk persamaan diferensial di atas disebut dengan PD(I)
Bentuk persamaan di atas disebut dengan PD(II) yang merupakan bentuk Persamaan diferensial tereduksi dari PD (I) dan PD(II) adalah persamaan diferensial homogen
Penyelesaian Umum dari PD(II) adalah Yc= C1Y1(x) + C2Y2(x) + …… + CnYn(x)
Penyelesaian ini diselesaikan dengan langkah reduksi orde, yang akan diperoleh persamaan karateristik, faktor – faktor karateristik, dan akan diperoleh akar – akar karateristiknya.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Liner Tak Homogen adalah Y= Yc(x)+Yp(x) dengan Yc(x) adalah solusi PD homogen dan Yp(x) adalah solusi partikular/khusus PD tak homogen.
Penyelesaian dari PD (I) adalah Y= Yc(x)+Yp(x), dengan Yp(x) adalah penyelesaian partikular yang dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter, kali ini akan diselesaikan Yp(x) dengan metode variasi parameter.
Metode Variasi Parameter
Yc= C1Y1(x) + C2Y2(x) + …… + CnYn(x)
Untuk mencari Yp(x) , subtitusikan Ci dengan Vi, dengan i= 1,2,3, …. , n
Menjadi :
Yp(x) = V1(x)Y1(x) + V2(x)Y2(x) + ……… + Vn(x)Yn(x)
Menjadi bentuk matriks yang elementnya adalah turunan dari Yp(x)
V1`(x)Y1(x) + V2`(x)Y2(x) + …………………………. + Vn`(x)Yn(x) = 0
V1`(x)Y1(x) + V2`(x)Y2(x) + …………………………. + Vn`(x)Yn(x) = 0
Dan seterusnya sampai pada baris (n-1) kembali pada F(x)
V1`(x)Y1(n-2)(x) + V2`(x)Y2(n-2)(x) + …………………………. + Vn`(x)Yn(n-2)(x) = 0
V1`(x)Y1(n-1)(x) + V2`(x)Y2(n-1)(x) + …………………………. + Vn`(x)Yn(n-1)(x) = F(x)
Dengan menggunakan langkah eliminasi, akan didapatkan salah satu dari Vi`, kemudian untuk memperoleh Vi dapat dengan mengintegralkan Vi`
Vi(x) =∫▒〖Vi`(x)dx〗
Setelah ditemukan Vi, maka disubtitusikan ke persamaan awal Yc(x), yang Ci nya sudah diganti dengan Vi, lalu ditemukan Yp(x)
Yp(x) = V1(x)Y1(x) + V2(x)Y2(x) + ……… + Vn(x)Yn(x)
Setelah ditemukan Yp(x), lalu di dapatkan Persamaan Umum dari persamaan diferensial tersebut, yaitu Y= Yc(x)+Yp(x)
ANALISIS
1. d²y/dx²+5dy/dx-2y=x adalah persamaan linier orde 2 pangkat 1 dengan koefisien konstan.
2. Fx≠0, maka persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial non homogen.
3. Maka d²y/dx²+5dy/dx-2y=x adalah persamaan diferensial linier non homogen dengan orde 2 pangkat 1 dengan koefisien konstan.
TINDAKAN
d²y/dx²+5dy/dx-2y=x
= PD tereduksinya adalah d²y/dx²+5dy/dx-2y=0
= [D2+5D-2]y= 0
= Persamaan karateristiknya adalah m²+m-2m= 0
= Faktor – faktor karateristiknya adalah (m+2)(m-1)= 0
= Akar akar karateristiknya adalah m1= -2, m2= 1
= Dari akar – akar karateristiknya, maka diperoleh Yc(x) = C1 e -2x + C2 e x, Ci disubtitusi dengan Vi, maka
= Yp(x)=V1 e -2x + V2 e x,
= V1` e -2x + V2` e x= 0
= -2V1` e -2x + V2` e x= x
= 3 V1` e -2x= – x
= V1`= (-x)/e^(-2x) = -1/3 xe^2x
Disubtitusi ke persamaan V1` e -2x + V2` e x= 0
=-1/3 xe^2x.e^(-2x)+ V2` e x = 0
= V2` e x= 1/3 x
= V2`= 1/3 xe^(-x)
Mencari Vi dengan Vi(x) =∫▒〖Vi`(x)dx〗
V1(x) =∫▒〖V₁`(x)dx〗
= ∫▒〖-1/3 xe^2x dx〗
= – 1/3 ∫▒〖u dv〗
= – 1/3 [uv-∫▒〖v du〗]
= – 1/3 [x 1/2 e^2x-∫▒〖 1/2 e^2x.1〗]
= – 1/3 [x 1/2 e^2x-1/4 e^2x ]
= -1/6 xe^2x+ 1/12 e^2x
V2(x) =∫▒〖V₂`(x)dx〗
= ∫▒〖1/3 xe^(-x) dx〗
= 1/3 ∫▒〖u dv〗
= 1/3 [uv-∫▒〖v du〗]
= 1/3 [x.-e^x-∫▒〖-e^(-x).1〗]
= 1/3 [-xe^(-x)-e^(-x) ]
= – 1/3 xe^(-x)- 1/3 e^(-x)
Yp(x) = V1` e -2x + V2` e x
= [-1/6 xe^2x+ 1/12 e^2x ]e -2x+ [ - 1/3 xe^(-x)- 1/3 e^(-x) ] e x
= [-1/6 x+1/12]+ [-1/3 x-1/3]
= [-1/6 x+1/12]- [1/3 x+1/3] = -1/2 x-1/4
Penyelesaian Umumnya :
Y=Yc(x)+Yp(x)
Y = C1 e -2x + C2 e x -1/2 x-1/4
D. PENUTUP
Dari permasalahan yang diajukan dan berdasarkan hasil analisis yang dilanjutkan dengan tindakan, diperoleh penyelesaian umum dari persamaan diferensial linier non homogen d²y/dx²+5dy/dx-2y=x yaitu
Y = C1 e -2x+ C2 e x -1/2 x-1/4
E. DAFTAR PUSTAKA
Ross, shepley I. 1984. Differential Equation. New York: John Wiley&Sons,inc.
Alfi Fauzi, Fendi. 2010. Penyelesaian Persamaan Differensial Linier Non Homogen. http://fendi-fkmt.blogspot.com/2010/11/penyelesaian-persamaan-differensial.html diunduh pada 22 Mei 2013.
Squad,Math. 2012.Persamaan Differensial. http://clikmatematika88.blogspot. com/2012/02/persamaan-diferensial.html diunduh pada tanggal 22 Mei 2013.
Endah. 2012. Persamaan Diferensial Linier. http://endahbawono.blogspot.com/ 2012/03/persamaan-diferensial-linier.html diunduh pada tanggal 22 Mei 2013
Tidak ada komentar:
Posting Komentar